La regola aurea

(a+b)

Lsezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell’ambito delle arti figurative e della matematica, denota il numero irrazionale 1,6180339887… ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore  è medio proporzionale tra la minore  e la somma delle due :

{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi }

Valgono pertanto le seguenti relazioni:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\frac {a}{b}}}}
\varphi

Considerando solo il primo e l’ultimo membro e tenendo conto della definizione di  possiamo anche scrivere

{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}

(1)

da cui discende l’equazione polinomiale a coefficienti interi

{\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}

(2)

\varphi

La soluzione positiva di tale equazione (unica ammissibile essendo  una quantità positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da:

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887}

(3)

{\sqrt  {5}}
{\displaystyle ({\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},...)}

La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ovvero non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di  nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata, con crescente precisione, effettuando il rapporto fra termini consecutivi  della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa.

a
b
{\displaystyle ({\frac {1}{2}}a+{\frac {\sqrt {5}}{2}}a)}
a

I due segmenti  e  possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a  e la sua altezza è pari ad : il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea.

\varphi
\varphi

Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla  a denominatore tutto il secondo membro anch’esso pari a otteniamo la frazione continua:

{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}}
\varphi

Un’altra rappresentazione di  come frazione continua è costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo:

{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1^{2}+{\frac {1^{2}}{1^{2}+{\frac {2^{2}}{2^{2}+{\frac {6^{2}}{3^{2}+{\frac {15^{2}}{5^{2}+{\frac {40^{2}}{8^{2}+{\frac {104^{2}}{13^{2}+...}}}}}}}}}}}}}}}

Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell’uomo la conferma dell’esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l’uomo, l’universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all’infinito attraverso infinite suddivisioni.[1] Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell’ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.

Articolo continua su: wikipedia

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